Conditional stability for ill - posed elliptic Cauchy problems : the case of Lipschitz domains ( part II )

This paper is devoted to a conditional stability estimate related to the ill-posed Cauchy problems for the Laplace’s equation in domains with Lipschitz boundary. It completes the results obtained in [4] for domains of class C. This estimate is established by using an interior Carleman estimate and a technique based on a sequence of balls which approach the boundary. This technique is inspired from [2]. We obtain a logarithmic stability estimate, the exponent of which is specified as a function of the boundary’s singularity. Such stability estimate induces a convergence rate for the method of quasireversibility introduced in [10] to solve the Cauchy problems. The optimality of this convergence rate is tested numerically, precisely a discretized method of quasi-reversibility is performed by using a nonconforming finite element. The obtained results show very good agreement between theoretical and numerical convergence rates. Key-words: ill-posed problem, conditional stability, Carleman estimate, quasi-reversibility, singular boundary in ria -0 03 24 16 6, v er si on 1 24 S ep 2 00 8 Stabilité conditionnelle pour les problèmes de Cauchy elliptiques mal posés : le cas d’un domaine Lipschitzien (partie II) Résumé : Ce document concerne une estimation de stabilité conditionnelle relative aux problèmes de Cauchy mal posés pour l’équation de Laplace dans un domaine Lipschitzien. Il complète les résultats obtenus dans [4] pour les domaines à bord C. Cette estimation est établie en utilisant une inégalité de Carleman à l’intérieur et une technique basée sur une suite de boules approchant le bord. Cette technique est inspirée de [2]. Nous obtenons une inégalité de stabilité logarithmique, dont l’exposant est précisée en fonction de la singularité du bord. Une telle inégalité de stabilité implique une vitesse de convergence pour la méthode de quasi-réversibilité introduite dans [10] pour résoudre les problèmes de Cauchy. L’optimalité de cette vitesse de convergence est testée numériquement, précisément une discrétisation de la méthode de quasi-réversibilité basée sur un élément fini non conforme est mise en oeuvre. Les résultats obtenus attestent un très bon accord entre les vitesses de convergence théoriques et numériques. Mots-clés : problème mal posé, stabilité conditionnelle, inégalité de Carleman, quasi-réversibilité, bord singulier in ria -0 03 24 16 6, v er si on 1 24 S ep 2 00 8 Conditional stability for ill-posed Cauchy problem 3